SISTEMA DE LOS NUMEROS BINARIOS
Autor: Luis R. Morera González
El sistema numérico binario utiliza como base el 2, que corresponde al número de dígitos que se utilizan para representar cantidades. Estos dígitos son 0 y 1 que se conocen como "bits" abreviadamente. Por tal razón un número binario es una sucesión de bits, posiblemente con un punto binario intercalado.
Al igual que el sistema decimal, el sistema binario es posicional, por lo cual cada dígito tiene un valor relativo a la posición que ocupa en el número. El valor de posición en este sistema se consigue multiplicando el dígito por una potencia de 2. A continuación se muestra una tabla con los valores posiciónales de los dígitos en el sistema numérico binario.
La Tabla 1 muestra los valores de los dígitos de un número binario.
Tabla 1
Valores Posiciónales en el Sistema Binario | ||||||||||
Potencia de dos | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | . | 2-1 | 2-2 | 2-3 | 2-4 |
Valor | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 |
"Al igual que en el sistema decimal, en el sistema binario las potencias aumentan de derecha a izquierda"
La notación expandida de número es la sumatoria de sus valores posiciónales. Por ejemplo, considere el número binario 10101. La notación expandida de este número está dada por:
10101 = 1×24 + 0×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1
Para encontrar el equivalente decimal de un número binario sólo tenemos que resolver la notación expandida.
El equivalente decimal del número binario anterior es 21. Para distinguir un número binario de uno decimal, utilizaremos un sub-índince de 2 al final del número binario.
101012 = 21
Ahora encontraremos el equivalente decimal de 11.012 .Para esto resolveremos la notación expandida del número binario.
11.012 = 1×21 + 1×20 + 0×2-1 + 1×2-2 = 2 + 1 + 0 + 0.25 = 3.25
En la Tabla 2 se muestra la representación binaria de los primeros 11 números enteros no negativos.
Tabla 2
Números Decimales y Binarios | |
Enteros No negativos | Equivalente Binario |
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 10 |
3 | 11 |
4 | 100 |
5 | 101 |
6 | 110 |
7 | 111 |
8 | 1000 |
9 | 1001 |
10 | 1010 |
(Paso 1) Dividir 29 entre 2 y anotar el residuo.
División | Cociente | Residuo |
29 ÷ 2 | 14 | 1 |
Como el cociente es mayor de cero continuamos en el (Paso 1) esta vez trabajando con el cociente obtenido. Esto es dividir 14 entre 2.
División | Cociente | Residuo |
29 ÷ 2 | 14 | 1 |
14 ÷ 2 | 7 | 0 |
Como el cociente es mayor de cero continuamos en el (Paso 1) esta vez trabajando con el cociente obtenido. Esto es dividir 7 entre 2.
Continuando con el algoritmo hasta que el cociente sea cero obtenemos:
División | Cociente | Residuo |
29 ÷ 2 | 14 | 1 |
14 ÷ 2 | 7 | 0 |
7 ÷ 2 | 3 | 1 |
3 ÷ 2 | 1 | 1 |
1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Como el cociente es cero pasamos al (Paso 3), el resultado se encuentra escribiendo los residuos de la tabla anterior en orden inverso ha como fueron obtenidos, esto es:
29 = 111012 .
Ahora mostraré el algoritmo para convertir la parte fraccionaria de un decimal a binario.
Algoritmo 2: Convertir la parte fraccionaria de un decimal a binario.
(Paso 1) Multiplique la parte fraccionaria por 2 y anote la parte entera del resultado.
(Paso 2) Si la parte fraccionaria del resultado es mayor de cero y pase al (Paso 1) utilizando la parte fraccionaria del resultado encontrada.
(Paso 3) El resultado se encuentra escribiendo las partes enteras encontradas, escritas en el orden como fueron obtenidas y añadiendo el punto decimal al principio.
Para mostrar el algoritmo convertiré el número 0.78125 a binario utilizando una tabla para organizar los resultados.
(Paso 1) Multiplicar 0.78125 por 2.
División | Resultado | Parte Entera |
0.78125 × 2 | 1.5625 | 1 |
Como la parte fraccionaria del resultado es mayor de cero, continuamos en el Paso 1 utilizando 0.5625. Esto es multiplicamos 0.5625 por 2.
División | Resultado | Parte Entera |
0.78125 × 2 | 1.5625 | 1 |
0.5625 × 2 | 1.125 | 1 |
Como la parte fraccionaria del resultado es mayor de cero, continuamos en el Paso 1 utilizando 0.125. Esto es multiplicamos 0.125 por 2.
División | Resultado | Parte Entera |
0.78125 × 2 | 1.5625 | 1 |
0.5625 × 2 | 1.125 | 1 |
0.125 × 2 | 0.25 | 0 |
Continuando con el algoritmo hasta que la parte fraccionaria del resultado sea cero obtenemos:
División | Resultado | Parte Entera |
0.78125 × 2 | 1.5625 | 1 |
0.5625 × 2 | 1.125 | 1 |
0.125 × 2 | 0.25 | 0 |
0.25 × 2 | 0.5 | 0 |
0.5 × 2 | 1.0 | 1 |
Como la parte fraccionaria es cero pasamos al (Paso 3), el resultado se encuentra escribiendo las partes enteras de la tabla anterior en el orden como fueron obtenidos y añadiendo el punto decimal al principio, esto es:
0.78125 = 0.110012 .
Hasta ahora, has aprendido a encontrar los equivalentes binarios de la parte entera y la parte fraccionaria de un número decimal. Ahora, cuando tenemos un número decimal que contiene parte entera y parte fraccionaria, la forma de convertir este número a binario es cambiando cada parte del número a binario utilizando el algoritmo correspondiente y luego uniendo los resultados.
Por ejemplo para convertir el número 14.25 a binario, utilizamos el algoritmo 1 para convertir 14 a binario y el algoritmo 2 para convertir 0.25 a binario como se muestra a continuación:
Algoritmo 1: Convertir 14 a binario.
División | Cociente | Residuo |
14 ÷ 2 | 7 | 0 |
7 ÷ 2 | 3 | 1 |
3 ÷ 2 | 1 | 1 |
1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Por lo tanto 14 = 11102 .
Algoritmo 2: Convertir 0.25 a binario.
División | Resultado | Parte Entera |
0.25 × 2 | 0.5 | 0 |
0.5 × 2 | 1.0 | 1 |
Por lo tanto 0.25 = 0.012 .
Si unimos los resultados obtenidos utilizando los dos algoritmos obtenemos la solución del problema, obtenemos: 14.25 = 1110.012
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